Экзаменационные вопросы по курсу "Линейная алгебра", 2 семестр 1. Системы линейных уравнении. Георема Кронекера-Капелли. Единственность решений, наличие бесконечного числа решений неодно- родной системы АХ=В. Однородные системы. Фундаментальная система ре- шений и её свойства. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы. 2. Понятие линейного оператора, его свойства, примеры. Матрица линейного оператора в данном базисе. векторно-матричная запись дейс- твия линейного оператора. Умножение линейных операторов на число, сложение и умножение операторов. Соответствующие действия с матрица- ми операторов. Обратный оператор и обратная матрица. 3. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. 4. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобие матриц и ею свойства. Инвариантность опреде- лителя матрицы линейного оператора при замене базиса. 5. Понятия собственною значения и собственного вектора линейно- го оператора, их общие свойства. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих разным собственным значениям. Оператор простого тина, диагонализуемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Пример оператора непростого типа. 6. Характеристический многочлен и нахождение собственных значе- ний и собственных векторов с помощью характеристического уравнения. Инвариантность собственных значений, следа и определителя матрицы линейного оператора. 7. Ядро линейного оператора, его свойства. 8. Понятие о жордановой нормальной форме матриц. Собственные и присоединенные векторы. 9. Понятие билинейной формы. Матрица формы. Координатная и век- торно-матричная запись формы. Преобразование матрицы формы при заме- не базиса. Квадратичная форма, порожденная симметричной билинейной формой, ее координатная и векторно-матричная запись. 10. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведе- ние формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квад- ратичных форм. Положительный и отрицательный индексы формы, ранг формы. 11. Знакоопредсленная квадратичная форма, ее индексы и ранг. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы. 12. Поверхности второго порядка в пространстве, их классифика- ция. 13. Евклидово скалярное произведение. Примеры евклидовых прост- ранств. Неравенство Коши - Буняковского. Длины векторов и углы между ними. Свойства длины вектора. 14. Матрица Грама скалярного произведения, его координатная и векторно-матричная записи. Критерии матрицы Грама. Преобразование матрицы Грама при замене базиса. 15. Линейная независимость ортогональной системы векторов. Ор- тогональный и ортонормированный базисы. Запись матрицы Грама, ска- лярного произведения, длины вектора в ортогопальном и ортонормиро- ванном базисах. Метод Шмидта ортогонализации базиса. 16. Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы. Свойс- тва самосопряженных операторов. 17. Ортогональное преобразование. Его матрица, свойства. Приве- дение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогональ- ного преобразования.